傅氏變換中的問(wèn)題探究論文

　　摘 要：求解函數(shù)的傅里葉變換是分析信號(hào)與線性系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的主要手段之一，靈活地運(yùn)用傅氏變換對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行頻域分析具有重要的作用。本文首先分析了傅氏變換的實(shí)質(zhì)以及其具有的物理意義，然后就傅氏變換的求解過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題給與了詳細(xì)解釋。使得我們?cè)谝院蟮那蠼膺^(guò)程終能有效地避開(kāi)關(guān)于沖擊項(xiàng)的討論，以簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

　　關(guān)鍵詞：傅里葉變換；沖擊函數(shù)；微分特性；積分特性

　　1 引言

　　在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，傅里葉變換有著廣泛的應(yīng)用，無(wú)論是在聲學(xué)、數(shù)字信號(hào)處理方面還是在生物醫(yī)學(xué)工程甚至核科學(xué)的研究上無(wú)不發(fā)揮著重要的作用，因此正確的求解傅氏變換是科研工作人員所必須具有的基本素質(zhì)之一。而我們?cè)趯W(xué)習(xí)傅氏變換的過(guò)程中，有非常容易丟掉一些關(guān)于沖擊項(xiàng)的傅氏變換部分，這就使我們不得不尋找一些方法來(lái)避免這些成分的丟失。

　　2 傅氏變換理論

　　2.1 傅氏變換的實(shí)質(zhì)

　　對(duì)于一些周期函數(shù)我們要進(jìn)行頻譜分析時(shí)，常利用傅氏級(jí)數(shù)對(duì)其進(jìn)行展開(kāi)，展開(kāi)公式為：

　　其中。

　　很明顯，周期函數(shù)的頻譜特性是離散的。而對(duì)于非周期信號(hào)來(lái)講，可將其周期看做是無(wú)窮大，這樣頻譜相鄰譜線間的間隔將無(wú)限趨小，譜線無(wú)限密集，這也就意味著其頻譜特性是連續(xù)的。同時(shí)，由于周期無(wú)限趨大，復(fù)振幅亦無(wú)限趨小。于是等式兩邊同乘以，以顯示出各頻率分量的振幅差異。這也就是我們所定義的傅里葉變換。即：

　　從上式我們也可以看出具有單位頻帶振幅的性質(zhì)。故傅里葉變換實(shí)則為的頻譜密度函數(shù)。這時(shí)我們?cè)儆懻撝绷鞣至康母道锶~變換就不顯得那么困難了，從物理意義上來(lái)講直流分量的頻率不存在即為0，那么直流分量的振幅就全部降落在0或者從極限的角度講為，降落在趨近于零的一個(gè)非常狹小的區(qū)間上，用振幅比上這樣一個(gè)狹小的頻帶，可想而知其結(jié)果就是一個(gè)在零點(diǎn)的沖擊。當(dāng)然，我們?cè)跀?shù)學(xué)演算時(shí)，還要添加一個(gè)系數(shù)。即：。

　　2.2傅里葉變換的重要性質(zhì)

　　2.2.1微分特性

　　如果在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且，則

　　推廣式：

　　需要指出的是，此微分性質(zhì)只是充分的，并不能利用它進(jìn)行傅里葉變換的反向求解。

　　2.2.2積分特性

　　若，則例1的錯(cuò)誤原因是由于沒(méi)有考慮到微分性質(zhì)的非必要性。因而遺漏了沖擊項(xiàng)，而此時(shí)我們利用上面所給的積分性質(zhì)，并考慮到

　　可以看到此種解法是正確的。隨著我們學(xué)習(xí)的深入，逐漸會(huì)發(fā)現(xiàn)該積分特性仍存在不少缺陷，他只能夠求得某種特定的函數(shù)的傅里葉變換，對(duì)于一般的函數(shù)仍不適用。g1（t），故由導(dǎo)數(shù)的頻譜只可直接求得。，則需要計(jì)及積分常數(shù)的影響，故需尋求統(tǒng)一的公式來(lái)完成這類函數(shù)求解。

　　3 結(jié)論

　　由以上分析可知，當(dāng)函數(shù)無(wú)直流分量時(shí)，可以利用微分性質(zhì)加“沖擊法”來(lái)求解其傅氏變換，其結(jié)果是正確的，但過(guò)程仍是錯(cuò)誤的。如果有直流分量，則傅氏變換后結(jié)果中必有沖擊，這時(shí)可利用上面通式進(jìn)行求解。以保證結(jié)果不缺少?zèng)_擊項(xiàng)。在電子線路中，如果計(jì)算中丟失沖擊項(xiàng)，就相當(dāng)于計(jì)算中丟失了直流分量，會(huì)對(duì)結(jié)果造成很大誤差，應(yīng)予以避免。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1] 張炎生、周玨《“沖擊法""在求函數(shù)傅氏變換中的應(yīng)用》 1996

　　[2] 徐小蓉 《傅里葉變換及其應(yīng)用》 教育在線 2009

　　[3] 張祥芝等 工程數(shù)學(xué)教程 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社 2008

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