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教學論文：促進小學生數(shù)學認知理解的策略
【摘要】理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個中間目的，而不是最終目的。我們強調理解在數(shù)學教學與學習過程中的核心作用，不是把理解當作教學最終要實現(xiàn)的目標去追求，而是把它當作一個中心環(huán)節(jié)去給予充分的關注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學習，它是對知識進行掌握、應用的前提，也是進行后繼學習的基礎。
【關鍵詞】數(shù)學理解本質剖析自主建構 知識網(wǎng)絡
在數(shù)學教育界，很多專家和學者提出：學生應該要理解數(shù)學。原因何在？因為數(shù)學理解對于學生的數(shù)學學習具有非常重要的意義。理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個中間目的，而不是最終目的。顯然，我們要求學生學習數(shù)學，是希望學生在掌握數(shù)學知識的基礎上，能從數(shù)學角度去思考問題、理解問題、解決問題，進而鍛煉思維、培養(yǎng)情感，最終成為富有創(chuàng)造力的人。所以，我們強調理解在數(shù)學教學與學習過程中的核心作用，不是把理解當作教學最終要實現(xiàn)的目標去追求，而是把它當作一個中心環(huán)節(jié)去給予充分的關注，畢竟從某種意義上說，沒有理解就不能有真正意義上的學習，它是對知識進行掌握、應用的前提，也是進行后繼學習的基礎。
1數(shù)學理解的涵義
關于數(shù)學理解，著名數(shù)學家希爾伯特等認為：“一個數(shù)學的概念方法或事實被理解了，那么它就會成為個人內部網(wǎng)絡的一個部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的。”王光明教授將數(shù)學認知理解界定為“學生在已有數(shù)學知識和經(jīng)驗的基礎上，建立新知識的個人心理表征，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)絡，并能將納入知識網(wǎng)絡中的新知識靈活地加以提取以解決問題的思維過程�！标惌偨淌谡J為：“數(shù)學理解是學習者先認識數(shù)學對象的外部表征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)過程中，打破原有的認識平衡，將數(shù)學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數(shù)學對象的本質特征及規(guī)律，從而達到對數(shù)學對象的理�！薄度罩屏x務教育階段數(shù)學課程標準》實驗稿將理解解釋為能描述對象的特征和由來，能明確地闡述此對象與有關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。
以上關于數(shù)學理解含義的闡述，主要是針對數(shù)學學習中的理解而言的，它們可以統(tǒng)稱為數(shù)學認知理解，本文所探討的數(shù)學理解即是指數(shù)學認知理解。本人認為數(shù)學認知理解是指學習者聯(lián)系自己已有的知識和經(jīng)驗，通過數(shù)學學習活動，認識數(shù)學學習對象的外部表征，并構建相應的心理表象，然后經(jīng)過思維加工，打破原有的認知平衡，將數(shù)學對象的心理表象重新加以解釋，重新建構其意義，從而把新的學習內容納入已有的認知結構，逐步認識數(shù)學對象的本質特征和規(guī)律的一種思維活動。
2促進小學生數(shù)學認知理解的策略
數(shù)學教師要注重學生的認知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，為了促進學生的數(shù)學認知理解，就必須采用有效的教學策略。
2.1注重提供典型的感性材料，促進數(shù)學概念的獲得
在新知教學中，為使學生建立起清晰的表象，要借助直觀手段向學生提供豐富而典型的感性材料。
例如在教學《認識周長》時，老師用多媒體演示螞蟻、瓢蟲、蟋蟀三種小動物在樹葉上的鍛煉情景（螞蟻、瓢蟲沿著樹葉邊線運動，蟋蟀沿著樹葉中間的莖運動；其中瓢蟲跑完一周，而螞蟻沒有跑完一周）。然后引導學生“邊欣賞邊觀察這些小動物的運動路線有什么不同”，并對小動物運動的路線進行分類，周長概念的引入便自然和諧。在這樣有典型具體材料做支撐點的學習中，學生們學習熱情高漲，勁頭十足，對周長概念的印象非常深刻。
2.2注重聯(lián)系具體的生活原形，促進數(shù)學概念的形成
一位教育學家說過：“任何數(shù)學概念都可以在現(xiàn)實生活找到它的原型，這樣看來，豐富多彩的現(xiàn)實世界應當是學生學習數(shù)學的背景。”課堂教學要從學生喜聞樂見的生活情境出發(fā)，使抽象的數(shù)學學習變得具體形象起來，把原來枯燥的數(shù)學變的生動起來，這樣學習學生就不會感到抽象，而且容易形成生動活潑的學習氣氛。
例如，平行線概念的教學，讓學生辨認一些熟悉的實例，像操場跑道直道、窗框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣、五線譜譜線等，喚起筆直的直跑道線、窗框的上下兩條邊等學生熟悉的事物的表象。然后設問：如果把這兩條跑道線都向兩端無限延長，它們會相交嗎？這兩條窗框的上下兩條邊、兩根譜線呢？通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最后抽象出本質屬性，得到平行線的定義。這樣引入，使學生已有的生活經(jīng)驗成為學習新知的基礎，并借助于想象活動，較好地解決學生因抽象思維能力較低而造成的學習障礙。
2.3注重數(shù)學知識本質的剖析，促進數(shù)學知識的真正理解
數(shù)學知識在其形成過程中，往往附帶著許多無關特征。因此教學中應抓住重點，引導學生剖析關鍵詞語的真實含義，從而把握知識的實質，盡量減少不利因素的干擾。例如教學《認識周長》時，學生只有對周長概念中的“邊線”、”一周”、”長度”等關鍵詞語的真實含義弄清了，才會對周長這個概念有深刻的理解。
如何在教學中剖析數(shù)學知識的本質呢？一是狠抓關鍵詞。小學數(shù)學中很多數(shù)學概念往往是由若干個詞或詞組組成的定義。這些數(shù)學語言表述精確，結構嚴謹，對這一類事物的本質屬性作了明確的闡述。在教學時就要緊緊“抓”住這些本質的東西不放，讓學生建立起正確的概念。如平行線的定義是“同一平面內不相交的兩條直線”，在學習這一概念時，就應抓住“同一平面內”、“不相交”和“兩條直線”這幾個關鍵詞不放，引導學生想一想，如果概念中的關鍵詞去掉一個后，會發(fā)生什么變化。如平行線的定義中去掉“在同一平面內”，學生便發(fā)現(xiàn)會產(chǎn)生圖1的情形；去掉“不相交”就會產(chǎn)生圖2的情形；去掉“兩條直線”中的“直”字，就會產(chǎn)生圖3的情形，
顯然，這些都不是平行線。從而讓學生明確成為平行線的三個基本要點，加深對平行線意義的理解。二是巧用變式。就是不斷地變換所提供的事例或材料的呈現(xiàn)形式，改變非本質屬性，使學生透過現(xiàn)象看本質，使概念的本質屬性更加突出，達到化難為易的效果，由此幫助學生準確形成概念。如在三角形的高概念教學中，通過不同形態(tài)（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）、不同位置的三角形的底和高進行比較，就可以幫助學生分清哪些屬于三角形高的本質屬性，從而準確地理解三角形高的概念。三是加強對比辨析。加強對比辨析、舉反例等進行概念教學是行之有效的方法。例如在教學“二分之一”這個概念時，出示大小不同的一個圓形和一個長方形，要求學生分別用涂色部分表示它的二分之一。教師接著提問：“涂色部分的大小、形狀都不一樣，為什么都用“二分之一”這個數(shù)表示？”學生通過比較辨析的方法深化了這個概念。學生說：“陰影部分都表示這個圖形的一半，所以用二分之一表示�！� 又如教學射線、直線這兩個概念后，老師提問：“小胡同學認為，在一條直線上任意點一個點，就得到了兩條射線，因此，直線比射線長。”你同意他的觀點嗎？通過辨析，同學們清晰地認識到直線和射線都是無限長的，他們之間是不能比長短的。設計對比辨析，泛化現(xiàn)象就不會發(fā)生，同時概念也得到進一步深化。
新課程的數(shù)學教材，在注重數(shù)學本質的同時，對一些概念的定義、法則等適當?shù)刈髁说幚�。但這并不是不重視概念的教學了，而是為了使學生更好地領悟概念，真正理解概念，體會數(shù)學的本質。從這個意義上說，適當?shù)摹暗笔菫榱苏嬲摹皬娀薄?/p>
2.4注重經(jīng)歷新知的形成過程，促進學生自主建構知識
學習是學生主動建構知識的過程，學生不是簡單被動地接受信息，而是對外部信息進行主動選擇、加工和處理，從而獲得知識的意義。小學數(shù)學教學的核心環(huán)節(jié)就是給學生足夠的、充分的時間和空間，讓學生經(jīng)歷數(shù)學新知的形成過程。同時學習的過程是自我生成的過程，這種生成是他人無法取代的，是由內向外的生長，而不是由外向內的灌輸，教師的任務主要是在師生、生生的互動中幫助學生自己建構知識，而不是把前人的知識宣講給學生。有一種說法：一個好的教師應該是一個建材超市的經(jīng)理，為學生提供各種建筑材料，然后讓學生自己動手去建造自己的房屋。而不是一個房地產(chǎn)的經(jīng)紀人，把蓋好的房子賣（教）給學生。因此在教學中要著重引導學生經(jīng)歷觀察、操作實踐、猜測、判斷、歸納、類比、交流等數(shù)學活動，充分體現(xiàn)出概念本質特征的形成過程，體驗概念“再創(chuàng)造”的過程。
如循環(huán)小數(shù)的認識，首先，通過大自然中日出日落、春夏秋冬四季輪換等現(xiàn)象感悟“依次不斷”、“重復出現(xiàn)”等“循環(huán)”的特征，然后讓學生進行10÷3和58.6÷11的計算。當學生怎樣計算都除不完而產(chǎn)生疑問時，再引導學生觀察每次除得的商和余數(shù)，并讓學生思考：當余數(shù)重復出現(xiàn)時，商會怎樣變化呢？隨后，通過交流研討，從而自主建構循環(huán)小數(shù)的意義。
2.5注重知識的靈活運用，促進對數(shù)學知識深層次的理解
數(shù)學概念在學生頭腦中建立后，要抓住時機，及時地多角度多層次地進行練習。練習的針對性要強，覆蓋面要廣，要涉及到概念所有的外延。
如在認識平行線概念后，可讓學生舉例說說生活中哪些物體表面有平行線，這類練習既加深了學生對平行線的認識，又能令所學知識運用到生活實際中，拓寬學生的視野，加強學生對所學知識的實際運用能力；還可以安排判斷練習，下面圖形中，哪些是平行線？哪些不是平行線？為什么？學生不難找出哪個是哪個不是，但關鍵是要學生說清楚“為什么”，這是學生對平行線概念的再認識，能加深理解和鞏固記憶；再可安排找平行線活動，出示長方體模型，讓學生找一找哪些是平行線？當學生指出長方體相對兩個面的對角線是平行線時，引導學生討論，同不同意這觀點，學生爭辯的焦點是這兩條直線在不在同一平面內，這時，教師借助多媒體演示，使大家清楚地看到這兩條直線在新創(chuàng)設的同一個斜面內，完全符合平行線的定義，在問題到圓滿解決的同時，學生對平行線的定義就有了進一步的認識。
“理解是一種運用所學知識靈活地思考與行動的能力……也是一種與機械背誦與固守答案相反地實踐能力。”（Wiske 1977）為此，教學中除了要重視加強數(shù)學知識的一般應用外，尤其要加強知識在新環(huán)境中的運用，如學習了長、正方形的周長后，可以讓學生計算若干個小正方形拼成的長方形的周長，以提高使學生初步學會運用所學的數(shù)學知識解決一些簡單的實際問題能力，進而能夠在實踐中主動體驗教學的價值與魅力。
2.6促進數(shù)學知識的系統(tǒng)化，建立良好的知識網(wǎng)絡結構
建構主義學習觀一再強調：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的。教學到了一定階段，要讓學生找出知識間的縱向與橫向聯(lián)系，組成知識系統(tǒng)，穿線結網(wǎng)，轉化成學生頭腦中的認知結構，這種系統(tǒng)的認知結構不僅有利于知識的鞏固、深化，也有利于知識的檢索、提取和運用，促進學生知識的遷移，發(fā)展學生的數(shù)學能力。
例如， 在學生掌握了三角形、梯形等面積公式的推導以后，教師提出既然梯形的面積公式可以從多種圖形的面積公式推導而來，那么梯形面積公式與這些圖形面積公式之間有什么聯(lián)系呢？教師運用電子白板演示：1.將梯形上底一個端點向右一側平著拉伸，使之成為一個平行四邊形，這時上底與下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四邊形面積計算公式了；2.將梯形下底兩個端點向中間縮，使之成為一個長方形，這時梯形的上、下底就變成了長方形的長，高變成了寬，（上底+下底）×高÷2=（長+長）×寬÷2=長×寬，即得到了長方形的面積計算公式；3.將梯形上底逐漸縮短，最后縮成一個點，即上底為0，這時梯形面積就轉化成了三角形的面積公式。使學生很直觀地了解這些計算公式之間的內在聯(lián)系，幫助學生從整體把握知識結構，從而加深對數(shù)學的理解。
總之，數(shù)學認知理解是數(shù)學學習的關鍵，教師要善于創(chuàng)設寬松的學習環(huán)境，提供豐富的學習材料，激發(fā)學生主動參與數(shù)學活動，引導學生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”過程，引導學生自主建構自己的知識體系，并靈活應用知識，形成對數(shù)學知識的深刻理解，不斷提高數(shù)數(shù)學素養(yǎng)。
【參考文獻】
［1］《學會數(shù)學地思維》 江蘇教育出版社 2001.8
�。�2］《數(shù)學方法論入門》 浙江教育出版社 2006年版
［3］《為深層次理解而教》《江蘇教育》2008.12
�。�4］《數(shù)學理解之面面觀》華東師范大學課程與教學研究所博士生
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