用于壓縮感知的無(wú)線(xiàn)傳感網(wǎng)測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)方法

　　摘要：為了解決無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)采集過(guò)程中的冗余和傳輸能耗問(wèn)題，深入分析信號(hào)的線(xiàn)性測(cè)量過(guò)程，提出一種用于壓縮感知的測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)方法。該方法結(jié)合對(duì)角矩陣和正交基線(xiàn)性表示原理，采用線(xiàn)性結(jié)構(gòu)化的方法構(gòu)造，過(guò)程簡(jiǎn)單、速度快、稀疏度高、沒(méi)有冗余，適合硬件資源有限的傳感器節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)。仿真結(jié)果表明，基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法與常見(jiàn)的高斯隨機(jī)矩陣和部分哈達(dá)瑪矩陣兩種測(cè)量方法相比，該方法在相同信號(hào)重構(gòu)精度前提下信號(hào)恢復(fù)成功率更高，傳感節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)壓縮觀測(cè)得到更少的測(cè)量數(shù)據(jù)，從而大大減少網(wǎng)絡(luò)通信量，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)能耗，延長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)生存周期。

　　關(guān)鍵詞：無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò);測(cè)量矩陣;線(xiàn)性表示;相關(guān)性;壓縮感知

　　引言

　　無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)(Wireless Sensor Network， WSN)[1]是一種無(wú)線(xiàn)通信的自組織分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)，憑借其隱蔽、容錯(cuò)、部署便捷等優(yōu)勢(shì)，被廣泛地應(yīng)用在環(huán)境監(jiān)測(cè)、戰(zhàn)場(chǎng)偵測(cè)和監(jiān)控、情報(bào)收集等領(lǐng)域[2]。由于節(jié)點(diǎn)硬件資源限制，能耗、計(jì)算能力受限，如何在保證獲取有用信息的前提下延長(zhǎng)傳感器節(jié)點(diǎn)的生存周期是目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)[3]。然而，傳感器節(jié)點(diǎn)在其生存周期內(nèi)數(shù)據(jù)通信消耗的能量約占總能量消耗的90%[4]，可見(jiàn)，通過(guò)減少數(shù)據(jù)通信量，減輕通信壓力，可以很大程度上延長(zhǎng)無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)的生存周期。

　　壓縮感知是Candes等[5]于2006年針對(duì)傳統(tǒng)采集方法的不足而提出新理論，它采用信號(hào)線(xiàn)性投影的方法使得在信息不失真的情況下，只要信號(hào)在空間變換上能夠稀疏或近似稀疏表示，就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的采集和數(shù)據(jù)的低比特率壓縮，試圖從原理上降低測(cè)量信號(hào)的成本，從盡可能少的數(shù)據(jù)中獲取更多的信息，提高采集效率。

　　本文首先研究了壓縮感知理論，深入分析了信號(hào)線(xiàn)性測(cè)量的過(guò)程，提出了適合在硬件資源有限的傳感器節(jié)點(diǎn)中的測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)方法，在成員節(jié)點(diǎn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，得到較少的采樣數(shù)據(jù)，進(jìn)一步減少網(wǎng)絡(luò)通信數(shù)據(jù)量， 延長(zhǎng)無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)的生存周期。

　　一、壓縮感知

　　1.1壓縮感知基本理論

　　壓縮感知的核心是把稀疏的高維度信號(hào)通過(guò)投影的方法變換為低維度信號(hào)，再將得到的低維空間數(shù)據(jù)借助線(xiàn)性重構(gòu)算法恢復(fù)出原始信號(hào)�？傮w來(lái)說(shuō)，壓縮感知過(guò)程包含3個(gè)主要問(wèn)題：信號(hào)的稀疏表達(dá)、測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)和信號(hào)恢復(fù)。

　　假設(shè)信號(hào)為x∈RN的一組列向量，能夠用正交基Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψN]線(xiàn)性組合表示為：

　　x=∑Ni=1ψisi=ΨS(1)

　　其中：Ψ為N×N維標(biāo)準(zhǔn)正交基;S為信號(hào)x在該正交基上展開(kāi)的系數(shù)向量，如果稀疏矩陣存在K個(gè)非零系數(shù)，而且K遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度N，那么稱(chēng)信號(hào)x是K階稀疏的。文獻(xiàn)[6]通過(guò)理論分析得出，信號(hào)的稀疏性與K成反比關(guān)系，K越小信號(hào)重構(gòu)所需的測(cè)量次數(shù)越少，應(yīng)用壓縮感知的價(jià)值和效率越高。

　　假設(shè)原始信號(hào)是K階稀疏的，那么利用與正交基Ψ不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ，通過(guò)線(xiàn)性變換能夠?qū)⑿盘?hào)x在稀疏空間上表示為：

　　y=Φx=ΦΨS=ΘS(2)

　　其中：Θ為感知矩陣，Θ=ΦΨ(Φ是測(cè)量矩陣，Ψ是稀疏基矩陣);y是壓縮后的測(cè)量值，它是一個(gè)數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)小于原始信號(hào)的M維列向量。

　　信號(hào)恢復(fù)是壓縮感知的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，是指如何從壓縮后的測(cè)量值y中重構(gòu)出稀疏度為K的原信號(hào)x，即在滿(mǎn)足約束等距條件(Restricted Isometry Property， RIP)下通過(guò)式(3)計(jì)算最優(yōu)解。

　　min ‖S‖l1(3)

　　s.t. y=ΦΨS=ΘS

　　1.2壓縮感知測(cè)量矩陣

　　測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)是壓縮感知的關(guān)鍵因素，是原始信號(hào)采集過(guò)程中研究的重點(diǎn)，也是原始信號(hào)能否高概率重建的重要前提。文獻(xiàn)[6]指出測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)必須滿(mǎn)足與稀疏矩陣基的非相關(guān)性，即滿(mǎn)足式(4)的約束等距條件(RIP)才能更好地恢復(fù)原始信號(hào)。

　　(1-εk)‖S‖2≤‖ΦS‖2≤(1+εk)‖S‖2(4)

　　其中：εk稱(chēng)為K階RIP常數(shù)，S為稀疏的信號(hào)表示。

　　目前圍繞RIP研究的主要方向分隨機(jī)性、確定性和部分隨機(jī)3種矩陣測(cè)量方法。隨機(jī)測(cè)量矩陣方法主要有利用高斯隨機(jī)均勻分布的方法生成高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣[7]和通過(guò)貝努利隨機(jī)序列數(shù)構(gòu)造測(cè)量矩陣[8]等，該類(lèi)方法均采用隨機(jī)特性生成測(cè)量矩陣，用較少的測(cè)量值得到更精準(zhǔn)的重建結(jié)果，但由于自身的隨機(jī)性和不確定性給矩陣存儲(chǔ)和硬件實(shí)現(xiàn)帶來(lái)阻礙;確定性測(cè)量矩陣主要代表有多項(xiàng)式測(cè)量矩陣[9]等，相比隨機(jī)測(cè)量矩陣，確定性測(cè)量矩陣可以節(jié)省存儲(chǔ)空間，計(jì)算速度快、易實(shí)現(xiàn)，但需要較多的測(cè)量值才能精確重建;部分隨機(jī)測(cè)量矩陣是利用矩陣的向量關(guān)系隨機(jī)抽取部分行向量構(gòu)造而成，如部分哈達(dá)瑪矩陣[9]、托普利茲矩陣[10]等，同時(shí)具有隨機(jī)性和確定性?xún)蓛?yōu)點(diǎn)，但構(gòu)造過(guò)程中存在維數(shù)的影響，有舍棄現(xiàn)象。因此，常見(jiàn)的測(cè)量方法在復(fù)雜多變的無(wú)線(xiàn)傳感器網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用存在一定的局限性。

　　本文針對(duì)測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)要素提出基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法是在常見(jiàn)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行的優(yōu)化改進(jìn)。該方法有著構(gòu)造過(guò)程簡(jiǎn)單、速度快、稀疏度高、沒(méi)有冗余等特點(diǎn)，在相同信號(hào)重構(gòu)精度前提下信號(hào)恢復(fù)的誤差率更低，能更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的采集與壓縮，節(jié)省存儲(chǔ)空間，大大減少網(wǎng)絡(luò)通信數(shù)據(jù)量，節(jié)省能耗。

　　二、WSN中的壓縮感知

　　在分簇式無(wú)線(xiàn)傳感網(wǎng)絡(luò)中引用壓縮傳感，其性能的優(yōu)越性是明顯的，原因在于應(yīng)用壓縮感知方式采集的數(shù)據(jù)在成員節(jié)點(diǎn)進(jìn)行首次壓縮后，節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)到達(dá)Sink節(jié)點(diǎn)過(guò)程中由各自的簇首節(jié)點(diǎn)進(jìn)行多次壓縮將大大降低通信能耗，因此，選擇最優(yōu)化測(cè)量矩陣是提升數(shù)據(jù)采集性能的關(guān)鍵。

　　2.1基于正交基線(xiàn)性表示方法

　　基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法是結(jié)合壓縮感知稀疏矩陣通過(guò)對(duì)角矩陣構(gòu)造一個(gè)新的線(xiàn)性結(jié)構(gòu)。為了保證得到的測(cè)量矩陣列向量的最大非相關(guān)性，正交基的線(xiàn)性系數(shù)設(shè)計(jì)成為生成剩余向量至關(guān)重要的條件。由于M維空間里最大的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組是M個(gè)，所以由正交基線(xiàn)性表示得知M+1，M+2，…，N必然與前面的1，2，…，M有一定的相關(guān)性，而為了保證這種相關(guān)性最小或向量組之間存在最大的近似非相關(guān)性，根據(jù)向量組線(xiàn)性表出的性質(zhì)，只要正交基的線(xiàn)性系數(shù)全為非零實(shí)數(shù)即可，因而M+1，M+2，…，N之間的線(xiàn)性無(wú)關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造線(xiàn)性無(wú)關(guān)系數(shù)問(wèn)題。

　　三、仿真實(shí)驗(yàn)及分析

　　本文使用Matlab工具對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文構(gòu)造測(cè)量矩陣的性能，在第2章的基礎(chǔ)上分別采用3種方法構(gòu)造測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行模擬采樣，最后采用正交匹配追蹤重建算法(Orthogonal Matching Pursuit， OMP)[15]對(duì)壓縮后的信號(hào)進(jìn)行重建。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)3種環(huán)境進(jìn)行仿真，通過(guò)改變實(shí)驗(yàn)參數(shù)對(duì)比其信號(hào)重建誤差，信號(hào)的重建誤差與重建成功率成反比關(guān)系，誤差越小重建的成功率越高。

　　選取信號(hào)長(zhǎng)度N為256稀疏度為K=10的諧波信號(hào)作為測(cè)試對(duì)象，不考慮信號(hào)采集過(guò)程中噪聲問(wèn)題，分別在不同壓縮采樣比CRS=M/N下對(duì)比3種測(cè)量方法信號(hào)重建誤差，如圖2所示。

　　可以看出;在相同壓縮采樣比CSR下，3種測(cè)量方法的信號(hào)重建在[0，0.2]區(qū)間誤差均比較大; 在(0.2，0.5]區(qū)間上基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法對(duì)信號(hào)的重建誤差明顯低于其他兩種測(cè)量方法，而且重構(gòu)信號(hào)的誤差比較穩(wěn)定，誤差越小，信號(hào)重建成功率越高，重建效果更趨近原始信號(hào)。造成部分哈達(dá)瑪矩陣測(cè)量方法誤差比較大的主要原因是由于隨機(jī)測(cè)量矩陣的隨機(jī)性對(duì)信號(hào)的采集有所舍棄。

　　根據(jù)上一實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，設(shè)定壓縮采樣壓縮比CSR=0.3，即采集信號(hào)長(zhǎng)度為256，測(cè)量次數(shù)近似為80的模擬環(huán)境，通過(guò)實(shí)驗(yàn)給出采集信號(hào)稀疏度K不同時(shí)，3種測(cè)量方法信號(hào)重構(gòu)誤差對(duì)比，如圖3所示。

　　實(shí)驗(yàn)表明，信號(hào)基的稀疏度越大，信號(hào)重建誤差越大，恢復(fù)成功率越低。因此，WSN環(huán)境中數(shù)據(jù)采集對(duì)信號(hào)的稀疏度、信號(hào)的長(zhǎng)度和測(cè)量次數(shù)的設(shè)定和信號(hào)的重構(gòu)成功率關(guān)系最為密切。在稀疏度不同的信號(hào)重構(gòu)誤差對(duì)比分析結(jié)果中，不難看出本文方法信號(hào)的重構(gòu)成功率優(yōu)于其他兩種測(cè)量方法。

　　在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，影響信號(hào)的噪聲不可避免，因此在實(shí)驗(yàn)中對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)增加正態(tài)分布μ=0.3，σ=10-4的噪聲，再次驗(yàn)證本文提出測(cè)量方法的魯棒性，如圖4所示。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，信噪對(duì)部分哈達(dá)瑪測(cè)量方法影響最大，重建信號(hào)失敗次數(shù)明顯高于其他兩種，而本文方法和高斯隨機(jī)測(cè)量方法對(duì)信噪有一定的抗性，信號(hào)重建誤差比較平穩(wěn)，其中基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法的重建成功率要高于高斯隨機(jī)測(cè)量方法。

　　可見(jiàn)，基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法對(duì)信號(hào)的壓縮采集不論有無(wú)噪聲影響，其恢復(fù)成功率均比其他兩種常用測(cè)量方法有著明顯的提升，充分證明了新的測(cè)量矩陣與信號(hào)稀疏基的非相關(guān)性，使得無(wú)線(xiàn)傳感網(wǎng)絡(luò)在資源有限的環(huán)境下更好實(shí)現(xiàn)。

　　四、結(jié)語(yǔ)

　　壓縮感知中測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)是原始信號(hào)能否高概率重構(gòu)的關(guān)鍵，本文結(jié)合壓縮感知理論提出的基于對(duì)角矩陣線(xiàn)性表示的測(cè)量方法能夠減少測(cè)量值、降低壓縮采樣比，對(duì)信號(hào)重構(gòu)的性能有明顯提升，其稀疏的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)適合特定環(huán)境進(jìn)行均勻低速采樣，采取發(fā)送壓縮測(cè)量值的策略大幅減少網(wǎng)絡(luò)通信數(shù)據(jù)量，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)能耗，而對(duì)數(shù)據(jù)的傳輸過(guò)程未考慮數(shù)據(jù)安全隱秘問(wèn)題。因此，如何在WSN應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)基于壓縮感知的安全傳輸模型將是未來(lái)研究的重要方向。

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